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砂田利一『バナッハ・タルスキーのパラドックス』

バナッハ・タルスキーのパラドックス (岩波科学ライブラリー (49))バナッハ・タルスキーのパラドックス (岩波科学ライブラリー (49))
(1997/04)
砂田 利一

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バナッハ・タルスキーの定理の証明について。その証明に使われる技法を分かりやすい形で解説。定理の雰囲気を伝える。巻末には証明が乗っているが、証明自体を味わう本ではない。ラピュータという仮想国の言語を持ち出して、自由群の話をする辺りは面白かった。無限についての一般的な問題を扱うところもあり、やや散漫な印象を受ける。

定理の証明は、三次元の有界な図形において「体積」にあたるものが完全には定義できない、ということになる。この点がとても説得的に書いてあるのがよい。

とはいえ、本文を読んだら巻末の証明がきちんと理解できるかと言えばそうではない。定理の証明は実質的に、二次元球面におけるSO(3)回転群に対する逆説性によっている。だとすると二次元球面に対してバナッハ・タルスキーの定理が成立するのだろうか。このことと面積の定義可能性がどう関係してくるのだろう。細かいところはあまりよく分からなかった。
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