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Andri Joyal & Ieke Moerdijk, "Algebraic Set Theory"

Algebraic Set Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series)Algebraic Set Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series)
(1995/09/14)
Andri Joyal、Ieke Moerdijk 他

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圏論の言葉で書かれた集合論。ZF集合論のinformalなモデルの累積的階層構造cumulative hierachyであるVは、所属関係∈を後続者関数としてatomあるいは空集合から生成される構造と考えることができる。本書はそのような代数的構造としてZF集合論のモデルを記述する試み。

大まかな流れとしては、自然数対象を持ったHeyting pretoposに対していくつかの公理を設定することによって累積的階層構造を構成し、それらが直観主義集合論IZFのモデルとなることが示される。Boolean pretoposの上で展開すれば古典主義集合論のモデルとなる。そのあと、森forest(木Treeの集まり)と双模倣性bisimulationを使って、実際にそのようなモデル、さらにvon Neumann型やTarski型の自然数が構成できることを示している。

とはいえ圏論をすっかり忘れていたので理解は危うかった。高次の圏的構造を使っているわけでもないし、圏論の道具立てとしては軽いものだろう。slice categoryとかexponetialのあたりを学び直さないと。
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